משפט הפירוק של ויירשטראס

באנליזה מרוכבת, משפט הפירוק לגורמים של ויירשטראס קובע כי כל פונקציה שלמה ניתן לייצג כמכפלה שמערבת את האפסים שלה. בנוסף, לכל סדרה השואפת לאינסוף ניתן לבנות פונקציה שלמה אשר האפסים שלה הם איברי הסדרה.

באופן רחב יותר, כל פונקציה מרומורפית אפשר לייצג כמכפלה המערבת את האפסים שלה, הקטבים שלה ועוד פונקציה הולומורפית שונה מ-0 הקשורה אליה.

המשפט קרוי על שם קארל ויירשטראס.

מוטיבציה

מהמשפט היסודי של האלגברה נובע שכל פולינום ניתן להציג בצורה: $p(z)=a\prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})$ כאשר $a_{1},\ldots ,a_{n}$ הם האפסים של הפולינום. כמו כן, לכל סדרה סופית $a_{1},\ldots ,a_{n}$ קיים פולינום שאלו אפסיו.

משפט הפירוק של ויירשטראס מכליל תוצאה זו לפונקציות שלמות כלליות ולסדרות אינסופיות של אפסים.

מכיוון שמכפלה אינסופית לא בהכרח מתכנסת, הרחבת המשפט היסודי של האלגברה באופן זה אינה מיידית. תנאי הכרחי להתכנסות של מכפלה אינסופית של מספרים הוא שערכם המוחלט ישאף ל-1. לכן, אם אנו רוצים ש- $\prod _{n}(z-a_{n})$ יתכנס, אנו רוצים פונקציה שערכה המוחלט יישאר ליד 1 כאשר היא מקבלת קלטים בסביבת השורשים שלה.

הגורמים האלמנטרים

הגורמים האלמנטריים מוגדרים באופן הבא:

E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

לכל n טבעי.

חשיבותם מודגמת בלמה הבאה:

\vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.

עבור z עם ערך מוחלט קטן-שווה ל-1 ו-n טבעי.

שתי הצורות של המשפט

קיומה של פונקציה שלמה עם סדרת אפסים נתונה

תהי $\{a_{n}\}$ סדרת מספרים מרוכבים שונים מ-0 אשר שואפת לאינסוף. אם $\{p_{n}\}$ היא סדרת מספרים טבעיים כך שלכל r>0 מתקיים: : $\sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,$ אז הפונקציה : $f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})$ היא שלמה עם אפסים בדיוק ב- $a_{n}$ . אם אחד המספרים בסדרה $\{a_{n}\}$ מופיע m פעמים אז הוא יהיה אפס מסדר m. נשים לב כי סדרת הטבעיים תמיד קיימת (ניתן למשל לקחת פשוט את הסדה {n}) אך אינה יחידה ולכן הפונקציה הנ"ל אינה יחידה.

משפט הפירוק של ויירשטראס

תהי f פונקציה שלמה עם אפסים $\{a_{n}\}$ (שונים מ-0) אשר חוזרים על עצמם בסדרה בהתאם לריבוי שלהם. נניח גם שלפונקציה יש אפס ב-z=0 והוא מסדר m>0 כלשהו. אז, יש פונקציה שלמה g וסדרה $\{p_{n}\}$ של טבעיים כך ש:

f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).

^[1]

דוגמאות לפירוק לגורמים של פונקציות שלמות

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$
$\cos \pi z=\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {2z}{2n-1}}\right)e^{2z/(2n-1)}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n-1)^{2}}}\right)$